布希內斯克近似 Boussinesq Approximatio - 颱風討論

大家好
我想請問大氣動力學中布希內斯克近似Boussinesq Approximation
其中一條z方向的式子

Holton在行星邊界層(The Planetary Boundary Layer)章的第一節中
寫出(5.3)z方向的式子

(D/Dt)w = (-1/ρ_0)∂p/∂z + gθ/θ_0 + F_rz (5.3)

其中右式前面兩項我花了好幾個鐘頭都搞不懂
課文解釋說用到了(2.28)和(2.51)
可是(2.51)中的gθ/θ_0明明不就是-(1/ρ)∂p/∂z - g算出來的嗎?
那(5.3)怎麼又多出(-1/ρ_0)∂p/∂z項?

5.1.1節課文說在z方向的方程式中密度不以平均值ρ_0取代
所以到底ρ和ρ_0個別代表的意義是什麼？

我的過程是

(-1/ρ)(∂p/∂z) - g

= (-1/ρ_0) [1 - (ρ'/ρ_0)] (∂p/∂z) - g

= (-1/ρ_0)∂p/∂z + [ρ'/(ρ_0^2)](∂p/∂z) - g
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
對照(5.3) 應該要得到gθ/θ_0

怎麼樣做不出來gθ/θ_0

拜託板上的先進幫忙指點一下正確推導過程

謝謝

--